Capítulo 2. La Integral Definida

Para trabajar funciones y sus respectivas gráficas remítase a:

• Matemáticas Generales, En el Capítulo 4 de Funciones, donde encuentra un documento con el que puede repasar los conceptos de interceptos con los ejes coordenados, intervalos de negatividad y positividad etc. Aquí.
  

• Cálculo 1. En el Capítulo 4 de Aplicaciones de la derivada, puede encontrar la metodología que refuerza el tema de gráficas de funciones, como determinar las coordenadas de los puntos extremos (máximos y mínimos), crecimiento, decrecimiento de funciones, concavidad y puntos de inflexión. Aquí.
  

Ejercicio: Hallar el área bajo la curva 𝑓(𝑥)  en el intervalo [1,6], mediante 5 rectángulos igualmente espaciados. (𝒏 = 𝟓). 

Hallar el valor de la siguiente integral, mediante el método de Sumas de Riemann. 

1. Por la izquierda con rectángulos igualmente espaciados.

Con la instrucción:

SumaIzquierda[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo>, <Número de rectángulos> ]

Que para este caso sería:

SumaIzquierda[ sqrt(x-1), 1,6,5 ]

Obtiene el siguiente resultado:

2. Por la derecha, con rectángulos igualmente espaciados

Con la instrucción:

SumaRectángulos[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo>, <Número de rectángulos>, <Posición del rectángulo inicial> ]

Que para este caso sería:

SumaRectángulos[ sqrt(x-1), 1,6,5,1 ]

Obtiene el siguiente resultado:

3. Mediante áreas de trapezoides

Con la instrucción:

SumaTrapezoidal[ <Función>, <Extremo inferior del intervalo>, <Extremo superior del intervalo>, <Número de trapezoides> ]

Que para este caso sería:

SumaTrapezoidal[ sqrt(x-1),1,6,5]

Obtiene el siguiente resultado:

1. Puede cambiar la función, en el respectivo campo de entrada donde está f(x).

2. Puede variar el número de rectángulos con el deslizador.

Note la aproximación del valor que encuentra aumentando el número de rectángulos con el valor de la integral definida, descrita al final de la ventana. 

Determine el valor de la integral para la siguiente función, en el intervalo [1,6]: 

Es decir, determine el valor de:

Con la instrucción:

Integral[ <Función>, <Valor Inicial de x>, <Valor Final de x> ]

Que para este caso sería:

Integral[sqrt(x-1),1, 6 ]

Obtiene el siguiente resultado:

Sabemos que, si queremos encontrar el promedio de un conjunto de valores, lo que debemos hacer es sumar dichos valores y dividir el resultado entre el número total de datos (finitos). Ahora, si lo que se busca es encontrar el valor promedio de un conjunto de datos (infinitos) en un intervalo dado [a,b] hacemos uso del Teorema del valor medio para integrales, partiendo del concepto fundamental para encontrar un valor promedio y la teoría básica del inicio de este capítulo donde se hacen n divisiones sucesivas y se realiza una suma infinita que como se ha visto previamente, esto representa una integral definida en el intervalo dado [a,b]. Con este teorema podemos entonces encontrar por ejemplo promedios de funciones que están relacionadas con Temperatura, Densidad, Velocidad, Ángulos. Etc.

El Teorema del Valor Medio para Integrales garantiza que una función continua en un intervalo cerrado alcanza su valor promedio al menos en un punto.

Gráficamente verifica que hay un rectángulo con la misma área y ancho, que la integral definida en este intervalo.  Además, la parte superior del rectángulo intercepta la función dada.

Guía de Clase

Vídeo 1

Vídeo 2

Vídeo 3

Instrucciones:

Para hacer uso de este espacio interactivo de Geogebra, usted tiene tres campos de entrada que son:

• Función.
• Límite Inferior (a).
• Límite Superior (b).

En el entorno gráfico usted puede notar:

• La función f(x).
• Los puntos asociados a los límites inferior (a) y superior (b). Estos son los extremos del rectángulo.
• Las coordenadas de los puntos (c,f(c)) que satisfacen el TVM
• El área del rectángulo de base b-a y altura f(c).
• El resultado del área bajo la curva f(x) en el intervalo dado (a,b).

         Recuerde que estos dos últimos resultado son coincidentes.